Sierpinski Üçgeni(Fraktal)

Fraktal Nedir?
Bir cismi oluşturan parçalar ya da bileşenlerin cismin tamamına benzemesi matematikte “fraktal” olarak adlandırılır.Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde tekrarlanır. Öyle ki bütünün her bir parçası büyütüldüğünde yine cismin bütününe benzer. Fraktal terimi parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Latince “fractus” sözcüğünden türetilmiştir.

Şekildeki 1 numaralı yaprak nasıl inşa edildiyse 2 ve 3 numaralı yapraklarda o şekilde inşa edilmiştir. 3 numaralı veya 2 numaralı yaprağı büyüttüğümüzde 1 numaralı yaprak elde edilir.

Fraktal Örnekleri: Doğada sayısız örnekleri vardır.

Sierpinski Üçgeni:
Polonyalı matematikçi VACLAV SİERPİNSKİ (1882-1969) 1916 yılında, daha sonra kendi adıyla anılan ve Sierpinski Üçgeni veya Sierpinski Şapkası (Sierpinski Gasket) veya Sierpinski Kalburu (Sierpinski Sieve) da denen bir fraktal tanıttı. Bu şeklin 12.yüzyılda bir kilisede süsleme olarak çizili olduğu da biliniyor.

Sierpinski Üçgeni bir eşkenar üçgenin kenarlarının 1/2 oranında küçültülmesiyle oluşan çizgi modeli kendine benzeyen üçgenlerden oluştuğu için bir fraktal modeldir.

Bir Fraktal olan Sierpinski üçgeni nasıl yapılır?

Üç kenarı eşit uzunlukta bir üçgen çizerek “Sierpinski Fraktalı”nı oluşturmaya başlayalım. Çizdiğimiz bu üçgenin her kenarının orta noktasını işaretleyelim.

Noktaları birleştirerek aşağıda gördüğünüz gibi 4 üçgenden oluşan şekli elde edelim.Diğer üç üçgen yukarı bakacak ortadaki üçgen de aşağıya bakacak.

Yukarı bakan üçgenlerin kenarlarının orta noktalarını işaretleyelim.İşaretlediğimiz noktaları birleştirerek yeni üçgenler elde edelim.

Yukarıdaki işlemleri sonsuz sayıda tekrarlarsak ortaya Sierpinski Üçgeni ortaya çıkar.